Let a₁, a₂, a₃, ... a₁₁ be a sequence of integers. Prove there exist a sequence b₁, b₂, b₃, ... b₁₁ of { 1,0,-1 } not all zero, such that a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+ ... a₁₁b₁₁ is a multiple of 2025.
円に内接する四角形 ABCDの辺の長さを AB = a、BC = b、CD = c、DA = d、2つの対角線の長さを AC = p、BD = qとするとき、次の不等式が成り立つことを証明、等号が成立する条件を求めよ
p ^2+q ^2 ≤ a ^2+b ^2+c ^2+d ^2
>>3 整数の有限集合Sの重さをその元の和と定義する
a_iたちの部分集合は2^11=2048個あるので
鳩ノ巣原理からmod 2025で重さが合同になる2つの異なる部分集合が存在する
それらの差を考えれば良い
前スレ990の問題
p(x)が0次のときは0か1
1次のときはxであることがすぐ示せる
2次以上は帰納法で示す
i次(2≦i≦k)のとき、x^iのみと示せたとする
k+1次のとき、x=1を代入しp(0)p(2)=p(0)を得る
ここでp(2)=0だとするとx=3を代入しp(2)p(4)=p(8)=0
x=7を代入しp(6)p(8)=p(48)=0…とp(x)は無限個の異なる解を持ってしまい矛盾する
よってp(2)≠0なのでp(0)=0
p(x)/xはk次多項式で同じ仮定の等式を満たす
よって仮定からp(x)/x=x^kとなり帰納法が成立する
p(2) = 1 と仮定して矛盾みちびかないとだめでしょ？
p(x)＝(x−α_1)…(x−α_n) と置いてα_iを見るだけ。
半径 1/2 の円としてよい。４辺の弦の円周角を x,y,z,w とする。4 辺は sin(x), sin(y), sin(z), sin(w)、２本の対角線の長さは sin(x+y)=sin(z+w), sin(x+y)=sin(z+w) である。とくに 対角線の長さの２乗の和は 2 以下である。
R = {(x,y,z,w) ; x,y,z,w ≧ 0 , x+y+z+w = π } において
2(sin²(x)+sin²(y)+sin²(z)+sin²(w))
- (sin²(x+y)+sin²(y+z)+sin²(z+w)+sin²(w+x)) ≧ 0
を示せばよい。
S = 2(sin²(x)+sin²(y)+sin²(z)+sin²(w))
- (sin²(x+y)+sin²(y+z)+sin²(z+w)+sin²(w+x))
とおく。x=0 においては S = 2sin²(z) だから境界上では S≧0 である。
内点において S が極値をとるとき T = sin²(x)+sin²(y)+sin²(z)+sin²(w)、すなわち 4 辺の2乗和が 2となることを示せばよい。
内点で極値をとる点では
2sin(x)cos(x) - cos(x+y) - cos(x+w)
= 2sin(y)cos(y) - cos(y+z) - cos(y+x)
= 2sin(z)cos(z) - cos(z+w) - cos(z+y)
= 2sin(w)cos(w) - cos(w+x) - cos(w+x)
が必要である。よって
sin(2x) - sin(2y) - cos(x+w) - cos(y+z) = 0
sin(x-y)cos(x+y) = 0
が必要であり同様にして
sin(y-z)cos(y+z) = 0, sin(z-w)cos(z+w) = 0, sin(w-x)cos(w+x) = 0
が必要である。
cos(x+y)=0, cos(y+z) = 0, cos(z+w) = 0, cos(w+x) = 0
のいずれか一つでも成立するとき対角線のうち一方が直径となるから T=2 であり、
sin(x-y)=0, sin(y-z)=0, sin(z-w)=0, sin(w-x)=0
のすべてが成立するときは x=y=z=w となり長方形となるから T=2 である。以上により S が極値をとるとき対角線のいずれかがかならず直径となり、４辺の二乗和が 2 となるから S≧0 である。さらにこのとき S = 0 となるのは対角線の長さがともに 1 となるときに限られるから四角形は長方形となる。以上により S≧0 であり、等号成立は長方形の場合である。
>>15 円収角を使った頭のお粗末さからこれ以上無いスーパーアホと思われるが、わからないなら仕方ない
円に内接する四角形 ABCD（半径 R)で、対角線 AC = p、BD = q(ともに直径 2R)、辺 AB = a、BC = b、CD = c、DA = dとする
長方形では対角線が等しい（p = q = 2R)
p^2 + q^2 = (2R)^2 + (2R)^2 = 8R^2
しかし円に内接する長方形は必ず正方形
a = b = c = d = R√2）になり
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4・(R√2})^2 = 8R^2
等号は正方形で成立
非正方形の長方形は円に内接できないため、長方形で等号が成立するとしたのは誤り
円周角で簡潔にしようとしたのは分かるが、頭が足りなかったな
長方形の対角線が等しく円の直径であることから、すべての辺が等しい
途切れたわ
全ての辺が等しい正方形になる、という事だ
アホの証明ご苦労さん
15でアホとイキったものの完全な証明出されてて爆笑
このスレもレベル落ちたねぇ
内容もそうだがレスに誤字もあるし自演しまくりなのも救いようない
Determine y = ∫_0^∞ sinh(tx)/((x²+1) sinh(πx)) dx ( t∈(-π,π))
